Question

【题目】在平面直角坐标平面中，的两个顶点为，平面内两点、同时满足：①；②；③．

（1）求顶点的轨迹的方程；

（2）过点作两条互相垂直的直线，直线与点的轨迹相交弦分别为，设弦的中点分别为．

①求四边形的面积的最小值；

②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

试题分析：（1）根据得，所以为的重心，由②知是的外心，设求得，，根据化简得；（2）①由已知得，由此可设出直线方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用根与系数关系、弦长公式和点到直线距离公式求得面积的表达式，利用基本不等式求得最小值为；②根据中点坐标公式得，同理可求得，利用直线方程两点式求得直线方程，并令求得，所以直线过定点.

试题解析：

（1）∵，由①知，∴为的重心，设，则，由②知是的外心，∴在轴上由③知，由，得，化简整理得：．

（2）解：恰为的右焦点，

①当直线的斜率存且不为0时，设直线的方程为，

由，

设则，

①根据焦半径公式得，

又，

所以，同理，

则，

当，即时取等号．

②根据中点坐标公式得，同理可求得，

则直线的斜率为，

∴直线的方程为，

整理化简得，

令，解得，∴直线恒过定点，

②当直线有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0，直线即为轴，过点，

综上，的最小值的，直线恒过定点．