【题目】已知 是数列
的前
项和,并且
,对任意正整数
,
,设
(
).
(1)证明:数列 是等比数列,并求
的通项公式;
(2)设 ,求证:数列
不可能为等比数列.
【答案】
(1)证明:∵Sn+1=4an+2,∴Sn=4an-1+2(n≥2),
两式相减:an+1=4an-4an-1(n≥2),∴an+1=4(an-an-1)(n≥2),
∴bn=an+1-2an ,
∴bn+1=an+2-2an+1=4(an+1-an)-2an+1 , bn+1=2(an+1-2an)=2bn(n∈N*),
∴ ,∴{bn}是以2为公比的等比数列,
∵b1=a2-2a1 , 而a1+a2=4a1+2,∴a2=3a1+2=5,b1=5-2=3,
∴bn=32n-1(n∈N*)
(2)解:) ,假设
为等比数列,则有
=
, n≥2, 则有
=0
与 ≥1矛盾,所以假设不成立,则原结论成立,即
数列 不可能为等比数列
【解析】(1)根据给出的递推式可得到数列各项之间的关系,代入
后可得到
与
的关系进而求出公比。分别另n=1,2后可求出
的首项,即可求出
的通项公式。
(2)根据(1)的结论易得的通项,根据
化简后得到
,,显然不成立,故数列
不可能为等比数列。
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【题目】若平面点集 满足:任意点
,存在
,都有
,则称该点集
是“
阶聚合”点集。现有四个命题:
①若 ,则存在正数
,使得
是“
阶聚合”点集;
②若 ,则
是“
阶聚合”点集;
③若 ,则
是“2阶聚合”点集;
④若 是“
阶聚合”点集,则
的取值范围是
.
其中正确命题的序号为( )
A.①④
B.②③
C.①②
D.③④
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【题目】数列{an}满足:a1=,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2.
(1)证明:数列{an+1-an}是等差数列;
(2)求使+…+
成立的最小的正整数n.
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【题目】《算法统综》是明朝程大位所著数学名著,其中有这样一段表述:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一”,其意大致为:有一七层宝塔,每层悬挂的红灯数为上一层的两倍,共有381盏灯,则塔从上至下的第三层有( )盏灯.
A.14
B.12
C.10
D.8
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【题目】已知过抛物线 的焦点F,斜率为
的直线交抛物线于
两点,且
.
(1)求该抛物线E的方程;
(2)过点F任意作互相垂直的两条直线 ,分别交曲线E于点C,D和M,N.设线段
的中点分别为P,Q,求证:直线PQ恒过一个定点.
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