Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点B（0，4），离心率e=0．6．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若O（0，0），P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐标都是

整数的点为整点），使得△OPQ的面积S△OPQ=4?若存在，请指出共有几个这样的点（不必具体求出这些点的坐标）；否则，说明理由．

Answer 1

（1） （2）4

【解析】

试题分析：（1）设出椭圆的方程，然后利用已知条件列出方程，可求得．

（2） 确定点Q在与直线OP平行且距离为的直线l上，可得l的方程，再分类讨论，即可求出结论．

试题解析：【解析】
（1）设椭圆C的方程为 （a>b>0）， 1分

依题意得，b=4 ， ，又a2=b2+c2， 3分

∴a=5 ，b=4 ，c=3， 4分

所以椭圆C的方程为． 5分

（2）依题意得，，直线OP的方程为 y=x， 6分

因为，点Q到直线OP的距离为， 7分

所以点Q在与直线OP平行且距离为 的直线l上， 8分

设l：y=x+m，则解得m=±4， 10分

当m=4时，由，消元得41x2+200x<0，即，x∈Z，

∴x=―4，―3，―2，―1，相应的y也是整数，

此时满足条件的点Q有4个． 14分

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

考点分析： 考点1：椭圆的标准方程 考点2：椭圆的几何性质 试题属性

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