Question

在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=2，CC₁=

2

，则异面直线AB₁和BC₁所成角的正弦值为（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  7

  7

• C、

  1

  2

• D、1

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角,空间向量及应用

分析：分别取A₁C₁，AC的中点E，F，并连接EF，B₁E，则可分别以EB₁，EC₁，EF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，然后求出向量

AB1

，

BC1

的坐标，从而求出这两向量的夹角，从而求出对应的两异面直线所成角的正弦值．

解答： 解：如图，取A₁C₁中点E，AC中点F，并连接EF，则：EB₁，EC₁，EF三条直线两两垂直，∴分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系；
能确定以下几点的坐标：
A（0，-1，

2

），B1(

3

，0，0)，B（

3

，0，

2

），C₁（0，1，0）；
∴

AB1

=(

3

，1，-

2

)，

BC1

=(-

3

，1，-

2

)；
∴

AB1

•

BC1

=-3+1+2=0；
∴

AB1

⊥

BC1

，∴异面直线AB₁和BC₁所成角为90°，∴sin90°=1．
故选D．

点评：考查异面直线所成角，以及用向量法求异面直线所成角的方法．