Question

17．已知向量$\overrightarrow a=（1，\sqrt{3}）$，$|{\overrightarrow b}|=4$，且（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）⊥$\overrightarrow a$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角是（　　）

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，θ∈[0，π]，依题意，由（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow a$=0，可求得cosθ=-$\frac{1}{2}$，从而可得答案．

解答 解：设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，θ∈[0，π]．
∵$\overrightarrow a=（1，\sqrt{3}）$，$|{\overrightarrow b}|=4$，且（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）⊥$\overrightarrow a$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，即${\overrightarrow{a}}^{2}$+|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cosθ=0，即4+2×4cosθ=0，
∴cosθ=-$\frac{1}{2}$，θ∈[0，π]，
∴θ=$\frac{2π}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查平面向量的数量积的运算，由（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow a$=0，求得cosθ=-$\frac{1}{2}$是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．