Question

2．如图，过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作一条倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线与抛物线相交于A，B两点．
（1）用p表示|AB|；
（2）若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-3，求这个抛物线的方程．

Answer 1

分析 （1）将直线方程与抛物线方程联立方程组，利用根与系数的关系和抛物线的定义得出|AB|；
（2）利用根与系数的关系用p表示出x₁x₂，y₁y₂，根据$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-3列方程解出p，从而得出抛物线方程．

解答 解：（1）抛物线的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），过点F且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线方程为y=x-$\frac{p}{2}$．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=x-\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，得x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=3p，
∴|AB|=x₁+x₂+p=4p．
（2）由 （1）知x₁+x₂=3p，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∴y₁y₂=（x₁-$\frac{p}{2}$）（x₂-$\frac{p}{2}$）=x₁x₂-$\frac{p}{2}$（x₁+x₂）+$\frac{{p}^{2}}{4}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$-$\frac{3{p}^{2}}{2}$+$\frac{{p}^{2}}{4}$=-p²，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$-p²=-$\frac{3{p}^{2}}{4}$=-3，解得p²=4，∴p=2．
∴抛物线的方程为y²=4x．

点评 本题考查了抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系，注意根与系数的关系运用，属于中档题．