Question

若（2-x）（1+

2

x

）ⁿ的展开式中，所有项的系数之和为81，则展开式中的常数项为

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：在（2-x）（1+

2

x

）ⁿ的展开式中，令x=1，可得所有项的系数之和为3ⁿ=81，由此求得 n=4．再根据（1+

2

x

）ⁿ的展开式的通项公式，求得（2-x）（1+

2

x

）ⁿ的展开式的常数项．

解答： 解：在（2-x）（1+

2

x

）ⁿ的展开式中，令x=1，可得所有项的系数之和为3ⁿ=81，∴n=4．
故（2-x）（1+

2

x

） ⁴=（2-x）[

C

0 4

+

C

1 4

•

2

x

+

C

2 4

•(

2

x

)2+

C

3 4

•(

2

x

)3+

C

4 4

•

14

x2

]，
故展开式中的常数项为2+（-1）×

C

2 4

×4=-22，
故答案为：22．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，给变量赋值的问题，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．