Question

9．已知数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{a_n^2+9}{{2{a_n}}}，{a_{n+1}}＜{a_n}$．
（I）求a₁的取值范围；
（II）是否存在m∈N^*，使得（a_m-3）（a_m+2-3）=（a_m+1-3）²？证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得${a}_{2}=\frac{{{a}_{1}}^{2}+9}{2{a}_{1}}＜{a}_{1}$，解得-3＜a₁＜0或a₁＞3．利用作差法说明-3＜a₁＜0不成立，再用数学归纳法证明a₁＞3时a_n＞3，作差证明a_n+1＜a_n，n∈N^*．
从而求得a₁的取值范围；
（Ⅱ）利用反证法证明不存在m∈N^*，使得（a_m-3）（a_m+2-3）=（a_m+1-3）² ．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=$\frac{a_n^2+9}{{2{a_n}}}，{a_{n+1}}＜{a_n}$，
∴${a}_{2}=\frac{{{a}_{1}}^{2}+9}{2{a}_{1}}＜{a}_{1}$，解得-3＜a₁＜0或a₁＞3．
当-3＜a₁＜0时，${a}_{2}=\frac{{{a}_{1}}^{2}+9}{2{a}_{1}}$＜$\frac{-6{a}_{1}}{2{a}_{1}}=-3$，
${a}_{3}-{a}_{2}=\frac{{{a}_{2}}^{2}+9}{2{a}_{2}}-{a}_{2}=\frac{9-{{a}_{2}}^{2}}{2{a}_{2}}$＞0，a₃＞a₂，与题设矛盾．
当a₁＞3时，先用数学归纳法证明a_n＞3．
①当n=1时，不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即a_k＞3，则
当n=k+1时，${a}_{k+1}=\frac{{{a}_{k}}^{2}+9}{2{a}_{k}}$＞$\frac{2{a}_{k}•3}{2{a}_{k}}=3$，即当n=k+1时，不等式成立，
综①②所述，对任何n∈N^*，都有a_n＞3．
∵${a}_{n+1}-{a}_{n}=\frac{{{a}_{n}}^{2}+9}{2{a}_{n}}-{a}_{n}=\frac{9-{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}}＜0$，∴a_n+1＜a_n，n∈N^*．
综上，a₁的取值范围是（3，+∞）；
（Ⅱ）不存在m∈N^*，使得（a_m-3）（a_m+2-3）=（a_m+1-3）² ．
事实上，假设存在使题设成立的正整数m，则
（a_m-3）（a_m+2-3）=（a_m+1-3）² ，即（a_m-3）•$\frac{（{a}_{m+1}-3）^{2}}{2{a}_{m+1}}$=（a_m+1-3）² ，
∴a_m-3=2a_m+1，即${a}_{m}-3=\frac{{{a}_{m}}^{2}+9}{{a}_{m}}$，得a_m=-3，与题设矛盾．
故不存在m∈N^*，使得（a_m-3）（a_m+2-3）=（a_m+1-3）² ．

点评 本题考查数列递推式，训练了利用放缩法与数学归纳法证明数列不等式，考查利用反证法证明与自然数有关的命题，属难题．