Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．

(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；

(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

Answer 1

解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，

设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，

消去x得y2－4ty－4＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，

y1y2＝－4，

∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2

＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.

(2)证明：设l：x＝ty＋b代入抛物线y2＝4x，消去x得

y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，

∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2

＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.

令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2.

∴直线l过定点(2,0)．

∴若·＝－4，则直线l必过一定点(2,0)．