Question

3．已知椭圆C：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的上、下焦点分别为F₁，F₂，上焦点F₁到直线 4x+3y+12=0的距离为3，椭圆C的离心率e=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程
（Ⅱ）设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆交于点B（B不在y轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与x轴交于点H，若$\overrightarrow{{F_1}B}•\overrightarrow{{F_1}H}$=0，且|${\overrightarrow{MO}}$|=|${\overrightarrow{MA}}$|，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用点到直线的距离公式，即可求得c，利用椭圆的离心率，即可求得a的值，则b²=a²-c²，即可求得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线方程，代入椭圆方程，求得B点坐标，根据向量数量积的坐标运算，求得H点坐标，利用两点之间的距离公式求得y_M=1，联立MH及直线方程，即可求得直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知椭圆方程为C：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，焦点在y轴上，
设椭圆上焦点F₁（-c，0），由到直线4x+3y+12=0的距离为3，
得$\frac{丨3c+12丨}{5}$=3，
又椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，
又a²=b²+c²，求得a²=4，b²=3．
椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）设直线的斜率为k，则直线方程y-2=kx，设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3k²+4）x²+12kx=0，
则有x_A=0，x_B=-$\frac{12k}{3{k}^{2}+4}$，y_B=$\frac{-6{k}^{2}+8}{3{k}^{2}+4}$，
所以$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（-$\frac{12k}{3{k}^{2}+4}$，$\frac{-6{k}^{2}+8}{3{k}^{2}+4}$-1），$\overrightarrow{{F}_{1}H}$=（x_H，-1），
由$\overrightarrow{{F}_{1}B}$•$\overrightarrow{{F}_{1}H}$=0，
（-$\frac{12k}{3{k}^{2}+4}$）•x_H+1-$\frac{-6{k}^{2}+8}{3{k}^{2}+4}$=0，
解得：x_H=$\frac{9{k}^{2}-4}{12k}$，
由|${\overrightarrow{MO}}$|=|${\overrightarrow{MA}}$|，则x_M²+y_M²=x_M²-（y_M-2）²，y_M=1，
MH方程：y=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{9{k}^{2}-4}{12k}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{y=-\frac{1}{k}（x-\frac{9{k}^{2}-4}{12k}）}\end{array}\right.$，解得：y_M=$\frac{9{k}^{2}+20}{12（1+{k}^{2}）}$，
由y_M=$\frac{9{k}^{2}+20}{12（1+{k}^{2}）}$=1，解得：k²=$\frac{8}{3}$，k=±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴直线l的方程y=±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$x+2．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量数量积的坐标运算，考查考查计算能力，属于中档题．