Question

4．求下列函数的解析式：
（1）已知f（x）是一次函数，并且f[f（x）]=4x+3，求f（x）；
（2）已知f（2x+1）=4x²+8x+3，求f（x）；
（3）已知f（x+$\frac{1}{x}$）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-3，求f（x）；
（4）已知f（x）-2f（$\frac{1}{x}$）=3x+2，求f（x）．

Answer 1

分析 （1）设一次函数f（x）=ax+b，代入已知比较系数可得a和b的方程组，解方程组可得．
（2）利用换元法设t=2x+1进行求解即可．
（3）通过配方法求出函数的解析式即可．
（4）由f（x）-2f（$\frac{1}{x}$）=3x+2①，得f（$\frac{1}{x}$）-2f（x）=$\frac{3}{x}$+2②，得到方程组解出f（x）即可．

解答 解：（1）设一次函数f（x）=ax+b，
则f（f（x））=a（ax+b）+b
=a²x+ab+b=4x+3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{ab+b=3}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴f（x）=2x+1，或f（x）=-2x-3．
（2）设t=2x+1，则x=$\frac{t-1}{2}$，
则f（t）=4×（$\frac{t-1}{2}$）²+8×$\frac{t-1}{2}$+3=t²+2t，
则f（x）=x²+2x．
（3）∵f（x+$\frac{1}{x}$）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-3=（x+$\frac{1}{x}$）²-5，
∴f（x）=x²-5，x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）．
（4）由f（x）-2f（$\frac{1}{x}$）=3x+2①，
得f（$\frac{1}{x}$）-2f（x）=$\frac{3}{x}$+2②，
由①②组成方程组，
解得：f（x）=-x-$\frac{2}{x}$-2．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，常用方法有：配凑法，换元法，待定系数法，消元法，特殊值法等，本题属于基础题．