Question

8．已知数列{a_n}中，a₁=a（0＜a≤2），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{a_n}-2，（{a_n}＞2）\\-{a_n}+3，（{a_n}≤2）\end{array}$（n∈N^*），记S_n=a₁+a₂+…+a_n，若S_n=2015，则n=1343．

Answer 1

分析 a₁=a（0＜a≤2），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{a_n}-2，（{a_n}＞2）\\-{a_n}+3，（{a_n}≤2）\end{array}$（n∈N^*），可得a₂=-a₁+3=3-a∈[1，3）．对a分类讨论：①当a∈[1，2]时，3-a∈[1，2]，∴a₃=-a₂+3=a，…．②当a∈（0，1）时，3-a∈（2，3），可得a₃=a₂-2=1-a∈（0，1），∴a₄=-a₃+3=a+2∈（2，3），a₅=a₄-2，对n分类讨论即可得出．

解答 解：∵a₁=a（0＜a≤2），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{a_n}-2，（{a_n}＞2）\\-{a_n}+3，（{a_n}≤2）\end{array}$（n∈N^*），
∴a₂=-a₁+3=3-a∈[1，3）．
①当a∈[1，2]时，3-a∈[1，2]，∴a₃=-a₂+3=a，…．
∴当n=2k-1，k∈N^*时，a₁+a₂=a+3-a=3，∴S_2k-1=3（k-1）+a=2015，a=1时舍去，a=2时，k=672，此时n=1343；
当n=2k，k∈N^*时，a₁+a₂=a+3-a=3，∴S_2k=3k=2015，k=671+$\frac{2}{3}$，不是整数，舍去；
②当a∈（0，1）时，3-a∈（2，3），∴a₃=a₂-2=1-a∈（0，1），∴a₄=-a₃+3=a+2∈（2，3），a₅=a₄-2=a∈（2，3），…．
当n=4k，k∈N^*时，a₁+a₂+a₃+a₄=a+3-a+1-a+a+2=6，∴S_4k=6k=2015，k不为整数，舍去；
当n=4k-1，k∈N^*时，a₁+a₂+a₃=a+3-a+1-a=4-a，∴S_4k-1=6（k-1）+（4-a）=2015，舍去；
当n=4k-2，k∈N^*时，a₁+a₂=3，∴S_4k-2=6（k-1）+3=2015，舍去．
当4k-3，k∈N^*时，∴S_4k-2=6（k-1）+a=2015，舍去．
综上可得：n=1343．
故答案为：1343．

点评 本题考查了分段数列的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．