Question

【题目】在数列中，，其中.

（1）若依次成公差不为0的等差数列，求m;

（2）证明：“”是“恒成立”的充要条件;

（3）若，求证：存在，使得.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明略；（3）证明略。

【解析】

（1）由得出，再因为 依次成公差不为0的等差数列，可得，可求得的值;

（2）由，得出，再由，可得，由此可证充分性；再 对恒成立，可得对恒成立，可得出可证其必要性，可得证；

（3）由，

，将上述不等式相加得 ，可取正整数，可得证.

（1）由得，，，，

因为依次成公差不为0的等差数列，所以，

即，解得（舍去），经检验，此时的公差不为，

所以;

（2）因为，因为，所以，因为，所以，

所以“”是“”恒成立的充分条件；

因为，，所以对恒成立，即对恒成立，

而，所以，要使对恒成立，则需，

所以“”是“”恒成立的必要条件，

所以“”是“恒成立”的充要条件.

（3）因为，又因为

所以令，

，

将上述不等式相加得 ，所以 ，

取正整数，有 ，

所以当，存在，使得.