Question

1．已知数列{a_n}是等比数列，a₂=4，a₃+2是a₂和a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2log₂a_n-1，求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）等比数列{a_n}中，a₂=4，a₃+2是a₂和a₄的等差中项，有等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得首项和公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；
（Ⅱ）把（1）中求得的结果代入b_n=2log₂a_n-1，求出b_n，利用错位相减法求出T_n．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，
因为a₂=4，所以a₃=4q，${a_4}=4{q^2}$．）
因为a₃+2是a₂和a₄的等差中项，所以2（a₃+2）=a₂+a₄．
即2（4q+2）=4+4q²，化简得q²-2q=0．
因为公比q≠0，所以q=2．
所以${a_n}={a_2}{q^{n-2}}=4×{2^{n-2}}={2^n}$（n∈N^*）．
（Ⅱ）因为${a_n}={2^n}$，所以b_n=2log₂a_n-1=2n-1．
所以${a_n}{b_n}=（{2n-1}）{2^n}$．
则${T_n}=1×2+3×{2^2}+5×{2^3}+…+（{2n-3}）{2^{n-1}}+（{2n-1}）{2^n}$，①，
$2{T_n}=1×{2^2}+3×{2^3}+5×{2^4}+…+（{2n-3}）{2^n}+（{2n-1}）{2^{n+1}}$，②，
①-②得，$-{T_n}=2+2×{2^2}+2×{2^3}+…+2×{2^n}-（{2n-1}）{2^{n+1}}$．
=$2+2×\frac{{4（{1-{2^{n-1}}}）}}{1-2}-（{2n-1}）{2^{n+1}}=-6-（{2n-3}）{2^{n+1}}$，
所以${T_n}=6+（{2n-3}）{2^{n+1}}$．

点评 本题考查等比数列求通项公式和等差、等比中项的概念及错位相减法求数列的前项和S_n，等差数列和等比数列之间的相互转化，考查运算能力，属中档题．