Question

6．已知函数f（x）=ax²+x-b（a，b均为正数），不等式f（x）＞0的解集记为P，集合Q={x|-2-t＜x＜-2+t}，若对于任意正数t，P∩Q≠∅，则$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{b}$的最大值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据不等式解集对应的关系，得到-2∈P，然后利用基本不等式进行求解即可．

解答 解：∵不等式f（x）＞0的解集记为P，集合Q={x|-2-t＜x＜-2+t}，对于任意正数t，P∩Q≠∅，
∴-2∈P，即f（-2）≥0，
则4a-2-b≥0，即1≤2a-$\frac{b}{2}$；
又由题意知，$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{b}$的最大值必是正数，
则$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$）×1≤（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{b}$）×（2a-$\frac{b}{2}$）=2-$\frac{b}{2a}$-$\frac{2a}{b}$+$\frac{1}{2}$≤$\frac{5}{2}$-2$\sqrt{\frac{b}{2a}•\frac{2a}{b}}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{b}$的最大值是$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，根据集合关系进行等价转化是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．