Question

已知函数f（x）=ax³+

2-3a

2

x2+bx（a，b为常数）
（1）若y=f（x）的图象在x=2处的切线方程为x-y+6=0，求函数f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数y=f（x）的图象与y=-

1

2

[f′（x）-9x-3]+m的图象交点的个数；
（3）当a=1时，?x∈（0，+∞），lnx≤f'（x）恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求函数f（x）的解析式；
（2）求出函数的导数，求出函数的极值即可
（3）将不等式恒成立转化为求函数的最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得f′（x）=3ax²+（2-3a）x+b，由题知
∵y=f（x）的图象在x=2处的切线方程为x-y+6=0，
∴

f′(2)=1 f(2)=8

，即

12a+4-6a+b=1 8a+4-6a+2b=8

，解得a=-1，b=3．
则f（x）=-x³+

5

2

x2+3x．
（Ⅱ）由f（x）=-x³+

5

2

x2+3x，可得f′（x）=-3x²+5x+3，
则y=-

1

2

[f′（x）-9x-3]+m=-

1

2

（-3x²+5x+3-9x-3）+m=

3

2

x2+2x+m，
则由题意函数f（x）的图象与y=-

1

2

[f′（x）-9x-3]+m的图象交点的个数等价于方程-x³+

5

2

x2+3x=

3

2

x2+2x+m实根的个数，
即m=-x³+x²+x根的个数．
等价于g（x）=-x³+x²+x的图象与直线y=m的交点个数，…（6分）
g′（x）=-3x²+2x+1=-（x-1）（3x+1），
由g′（x）＞0，解得-

1

3

＜x＜1，此时函数递增，
由g′（x）＜0，解得x＜-

1

3

或x＞1，此时函数递减．
则函数g（x）的极小值为g（-

1

3

）=-

5

27

，极大值为g（1）=1…（8分）
根据上面的讨论，作出g（x）=-x³+x²+x的大致图象与直线y=m的位置如图，由图知，
当-

5

27

＜m＜1时，函数f（x）的图象与y=-

1

2

[f′（x）-9x-3]+m的图象有三个不同交点；
当m=-

5

27

或m=1时，函数f（x）的图象与y=-

1

2

[f′（x）-9x-3]+m的图象有两个不同交点；
当m＜-

5

27

或m＞1时，函数f（x）的图象与y=-

1

2

[f′（x）-9x-3]+m的图象有1个交点．…（10分）
（Ⅲ）当a=1时，f（x）=-x³-

1

2

x2+bx，f′（x）=3x²-x+b，
若，?x∈（0，+∞），lnx≤f′（x）恒成立，等价于lnx≤3x²-x+b，
即b≥lnx-3x²+x在（0，+∞）上恒成立，
令h（x）=lnx-3x²+x，只需b≥h（x）_max．
h′（x）=

1

x

-6x+1=-

6x2-x-1

x

=-

(2x-1)(3x+1)

x

，
故当x∈（0，

1

2

）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
当x∈（

1

2

，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递增．
∴h（x）_max=h（

1

2

）=-ln2-

1

4

，
∴b≥-ln2-

1

4

，
因此b的范围是[-ln2-

1

4

，+∞）．

点评：本题主要考查导数的综合应用，涉及的知识点有导数的几何意义以及函数极值和导数之间的关系，利用导数求函数的最值，综合性较强，运算量较大．