Question

已知函数f（x）=1+

2tanx

1+tan2x

-（1+cos2x）•tan²x，给出下列四个命题：
①函数f（x）的最小正周期为π，且在[

π

8

，

5

8

π]上递减；
②直线x=

π

8

是函数f（x）的图象的一条对称轴；
③对称中心（kπ+

π

8

，0）；
④若x∈[0，

π

8

]时函数f（x）的值域为[1，

2

]．
其中正确的命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的化简求值,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：化简可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），由三角函数的性质逐个选项验证可得．

解答： 解：化简可得f（x）=1+

2tanx

1+tan2x

-（1+cos2x）•tan²x
=1+

2sinx cosx

1+ sin2x cos2x

-（1+2cos²x-1）•tan²x
=1+

2sinxcosx

cos2x+sin2x

-2cos²x•tan²x=1+sin2x-2sin²x
=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

解得kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈Z
∴①函数f（x）的最小正周期为π，且在[

π

8

，

5

8

π]上递减，正确；
由2x+

π

4

=kπ+

π

2

可得x=

k

2

π+

π

8

，k∈Z
∴②直线x=

π

8

是函数f（x）的图象的一条对称轴，正确；
由2x+

π

4

=kπ可得x=

k

2

π-

π

8

，可得对称中心为（

k

2

π-

π

8

，0）k∈Z
∴③对称中心为（kπ+

π

8

，0），错误；
④若x∈[0，

π

8

]，则（2x+

π

4

）∈[

π

4

，

π

2

]，
∴sin（2x+

π

4

）∈[

2

2

，1]，可得f（x）的值域为[1，

2

]，正确．
故答案为：①②④

点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的单调性和值域，属中档题．