Question

7．证明当x＞-1时，e^x-1≥ln（x+1）．

Answer 1

分析 令f（x）=e^x-1-ln（x+1），f（0）=0．f′（x）=e^x-$\frac{1}{x+1}$，在（-1，+∞）上单调递增．f′（0）=0，可得函数f（x）在x=0时取得极小值即最小值．即可证明．

解答 证明：令f（x）=e^x-1-ln（x+1），f（0）=1-1-0=0．
f′（x）=e^x-$\frac{1}{x+1}$，在（-1，+∞）上单调递增，f′（0）=0，-1＜x＜0时，f′（x）＜0；，0＜x时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）在x=0时取得极小值即最小值．
∴f（x）＞f（0）=0．
∴当x＞-1时，e^x-1＞ln（x+1）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．