Question

已知函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且满足条件：
①f（a×b）=f（a）+f（b）；②f（2）=1； ③当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求证：f（x）为偶函数；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）求不等式f（3）+f（x-3）≤2的解集．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知可得：f（x²）=f（x）+f（x）=f（-x）+f（-x），即可证明．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，利用定义证明即可．
（3）由已知可得：f（2×2）=f（2）+f（2）=2，不等式f（x）+f（x-3）≤2=f（4），化为f（x（x-3）≤f（4），由于f（x）是偶函数，可得f（|x（x-3）|）≤f（4），再利用单调性即可得出．

解答： 解：（1）f（x²）=f（x）+f（x）=f（-x）+f（-x），
∴f（x）=f（-x）
（2）证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∴f（x₂）=f（

x2

x1

•x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁），
∵当x＞0时，f（x）＞0，
∴f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₂）=f（

x2

x1

•x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又f（x）是偶函数，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减．
（3）解：∵f（2×2）=f（2）+f（2）=2，
∴f（x）+f（x-3）≤2=f（4），
∴f（x（x-3）≤f（4），
∵f（x）是偶函数，
∴f（|x（x-3）|）≤f（4），
∴

x≠0 x-3≠0 |x(x-4)≤4

，
解得-1≤x≤4且x≠0，3．
∴解集为[-1，0）∪（0，3）∪（3，4]

点评：本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性，考查了构造法和适当取值，考查了推理能力和计算能力，属于难题．