Question

已知点Q为双曲线x²-4y²=9上任意一点，定点A（0，4），若动点P满足

PQ

=2

AP

，求动点P运动的轨迹方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P点坐标为（x，y），Q点坐标为（x₀，y₀），结合定点A（0，4），

PQ

=2

AP

，可得

x0=3x y0=3y-8

，代入双曲线方程x²-4y²=9，整理可得动点P运动的轨迹方程．

解答： 解：设P点坐标为（x，y），Q点坐标为（x₀，y₀），
∵定点A（0，4），
∴

PQ

=（x₀-x，y₀-y），

AP

=（x，y-4），
∵

PQ

=2

AP

，
∴

x0-x=2x y0-y=2(y-4)

，
∴

x0=3x y0=3y-8

，
∵Q点（x₀，y₀）为双曲线x²-4y²=9上的点，
∴（3x）²-4（3y-8）²=9
即x²-4（y-

8

3

）²=1，
即动点P的轨迹是一条双曲线．

点评：本题主要考查求轨迹方程的方法，坐标法是解答此类问题的常用方法，本题是“点随点动“问题，须要设出两个点的坐标，属于中档题．