Question

18．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m?β，则α⊥β；
②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
③若α∩β=m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β．
④若m∥α，α⊥β，则m⊥β．
其中真命题的个数是2．

Answer 1

分析 ①根据面面垂直的判定定理进行判断即可，
②根据线面平行的性质以及线面垂直的性质进行判断，
③根据线面平行的判定定理进行判断，
④根据线面平行，面面垂直的判定定理进行判断．

解答 解：①根据面面垂直的定义知若一个平面内有一条直线和平面垂直，则两个平面垂直，即若m⊥α，m?β，则α⊥β成立；故①正确，
②若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n?α；故②错误，
③若α∩β=m，n∥m且n?α，n?β，则n∥α且n∥β此命题正确，因为由线面平行的判定定理知，面外一条直线与面内一条直线平行，可得此线与面平行．故③正确，
④若m∥α，α⊥β，则m⊥β或m∥β或m?β或m与β相交．故④错误，
故正确的是①③，
故答案为：2

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定，根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键．