Question

14．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$，n∈N⁺．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=4${\;}^{{a}_{n}}$-4a_n，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$，n∈N⁺．利用递推关系即可得出．
（2）b_n=4${\;}^{{a}_{n}}$-4a_n=2ⁿ⁺¹-2（n+1），利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$，n∈N⁺．
∴n=1时，a₁=S₁=1．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$-$\frac{（n-1）^{2}+3（n-1）}{4}$=$\frac{n+1}{2}$．n=1时也成立．
∴a_n=$\frac{n+1}{2}$．
（2）b_n=4${\;}^{{a}_{n}}$-4a_n=2ⁿ⁺¹-2（n+1），
∴数列{b_n}的前n项和=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）-2（2+3+…+n+1）
=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2×$\frac{n（n+3）}{2}$
=2ⁿ⁺²-4-n²-3n．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．