Question

【题目】已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）求此几何体的体积V的大小；
（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；
（3）求二面角A﹣ED﹣B的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACE，∠ACB都是直角，∴AC⊥BC，AC⊥CE，CB∩CE=C，CB平面BCED，CE平面BCED；

∴AC⊥平面BCED．

∴V= ．

（2）解：取CE中点F，连接BF，则BF∥DE，则∠ABF即异面直线DE与AB所成的角，连接AF．

在△ABF中，AB=4 ，BF= ，AF= ；

∴由余弦定理得：cos∠ABF= ；

异面直线DE与AB所成角的余弦值是 ．

（3）解：过C作CG⊥DE，交DE于G，连接AG，∵AC⊥平面BCED，ED平面BCED，∴AC⊥ED；

∴ED⊥平面ACG，AG平面ACG，∴ED⊥AG，∴∠AGC是二面角A﹣ED﹣B的平面角；

在Rt△ACG中，AC=4，CG= ，∠ACG=90°；

∴tan∠AGC= ，sin ．

【解析】（1）通过已知条件可知，AC⊥底面BCED，再求出梯形BCED的面积，根据三棱锥的体积公式即可求出体积．（2）先找到异面直线所成的角，可过B作DE的平行线，则角ABF便是异面直线所成的角，根据条件求出即可．（3）先找出二面角的平面角，过C作CG⊥ED，并交ED于G，连接AG，则∠AGC即是所找的二面角的平面角，根据条件求出即可．
【考点精析】本题主要考查了异面直线及其所成的角的相关知识点，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系才能正确解答此题．