Question

15．已知函数$f（x）=\frac{xlnx}{x-1}+ax-1$在x=2处的切线平行于直线y=（1-ln2）x．
（I）求a的值，并判断f（x）在（1，+∞）上的单调性．
（II）求证：$f（x）＞\frac{x-1}{{{x^2}+1}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（2），求出a的值，从而求出函数的解析式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）设h（x）=f（x）-$\frac{x-1}{{x}^{2}+1}$=$\frac{x}{x-1}$（lnx-$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$），令φ（x）=lnx-$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$+ax-1，
∴f′（x）=$\frac{x-1-lnx}{{（x-1）}^{2}}$+a，
∴f′（2）=1-ln2+a，
又∵在x=2处的切线平行于y=（1-ln2）x，故a=0，
∴f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$-1，f′（x）=$\frac{x-1-lnx}{{（x-1）}^{2}}$，
令g（x）=x-1-lnx，则g′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
∴x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
故g（x）在（1，+∞）上递增，
故x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）=0，
即x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（1，+∞）递增；
（Ⅱ）设h（x）=f（x）-$\frac{x-1}{{x}^{2}+1}$=$\frac{xlnx}{x-1}$-$\frac{{x}^{2}+x}{{x}^{2}+1}$，
∴h（x）=$\frac{x}{x-1}$（lnx-$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$），
令φ（x）=lnx-$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$，
∴φ′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2x{（x}^{2}+1）-2x{（x}^{2}-1）}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$=$\frac{{{（x}^{2}-1）}^{2}}{{x{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
又∵x＞0，∴φ′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
故φ（x）在（0，+∞）递增，又易知φ（1）=0，
故x∈（0，1）时，φ（x）＜0，x∈（1，+∞）时，φ（x）＞0，
又当x∈（0，1）时，$\frac{x}{x-1}$＜0，x∈（1，+∞）时，$\frac{x}{x-1}$＞0，
故x＞0且x≠1时，h（x）＞0恒成立，
即当x∈{x|x＞0且x≠1}时，f（x）＞$\frac{x-1}{{x}^{2}+1}$成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式问题，是一道综合题．