Question

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（b＜c）．满足ccosB+bcosC=2acosA．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的周长为20，面积为10$\sqrt{3}$，求b，c．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、和差公式及其诱导公式即可得出．
（2）利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出．

解答 解：（1）由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入ccosB+bcosC=2acosA，
得2RsinCcosB+2RsinBcosC=4RsinAcosA，
即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosA，∴sin（B+C）=2sinAcosA，
即sin（π-A）=sinA=2sinAcosA，
∴$cosA=\frac{1}{2}$，
又A∈（0，π），则$A=\frac{π}{3}$．
（2）∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc=10\sqrt{3}$，
∴bc=40，
又a+b+c=20，b+c=20-a
由a²=b²+c²-2bccosA得a²=（b+c）²-3bc，
∴a²=（20-a）²-120，解得a=7，
∴b+c=13，bc=40，又b＜c解得b=5，c=8．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、和差公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．