Question

1．（1）求证：sinα•sinβ=$\frac{1}{2}$[cos（α-β）-cos（α+β）]；
（2）在锐角△ABC中，∠A=60°，BC=2，求△ABC面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）、根据题意，利用余弦的和差公式可得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，将两个式子相加，解可得证明；
（2）、根据题意，结合正弦定理可得S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinBsinC，结合（1）的结论可得S_△ABC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[cos（2B-120°）+$\frac{1}{2}$]，然后由△ABC为锐角三角形及B+C=120°可求B的范围，进而代入S_△ABC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[cos（2B-120°）+$\frac{1}{2}$]，计算可得答案．

解答 解：（1）证明：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，
sinαsinβ=$\frac{1}{2}$[（cosαcosβ+sinαsinβ）+（cosαcosβ-sinαsinβ）]=$\frac{1}{2}$[cos（α-β）-cos（α+β）]；
即原等式可证；
（2）在锐角△ABC中，由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²$\frac{sinBsinC}{si{n}^{2}A}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinBsinC，
由（1）可知，sinαsinβ=$\frac{1}{2}$[cos（α-β）-cos（α+β）]
=$\frac{1}{2}$[cos（B-C）+$\frac{1}{2}$]=$\frac{1}{2}$[cos（2B-120°）+$\frac{1}{2}$]；
故S_△ABC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[cos（2B-120°）+$\frac{1}{2}$]，
0°＜B＜90°，0°＜C＜90°且B+C=120°，
则有30°＜B＜90°，
即30°＜2B-30°＜150°，
则$\frac{1}{2}$＜sin（2B-30°）≤1，
又由S_△ABC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[cos（2B-120°）+$\frac{1}{2}$]，
故$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜S_△ABC≤$\sqrt{3}$．

点评 本题（1）考查三角函数的恒等变换，（2）考查正弦定理的应用，关键要正确利用（1）的结论．