Question

13．（1）求与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1有共同的渐近线，且经过点A（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{5}$）的双曲线的标准方程；
（2）求以坐标轴为对称轴，原点为顶点，过（3，2）的抛物线的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意和双曲线的性质设双曲线的标准方程，将点A的坐标代入列出方程求出方程解，可得双曲线的标准方程；
（2）由题意设抛物线的方程，将已知点代入列出求出p的值，可得抛物线的方程．

解答 解：（1）设与$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1有共同的渐近线的双曲线的标准方程是：
$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{12}=λ（λ≠0）$，
∵过点A（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{5}$），∴$\frac{3}{9}-\frac{20}{12}=λ$，解得λ=$-\frac{4}{3}$，
代入$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{12}=λ$化简得，$\frac{{y}^{2}}{16}-\frac{{x}^{2}}{12}=1$，
∴双曲线的标准方程是$\frac{{y}^{2}}{16}-\frac{{x}^{2}}{12}=1$；
（2）由题意设抛物线的方程是y²=2px或x²=2py（p＞0），
∵过（3，2），∴4=6p或9=4p，解得p=$\frac{2}{3}$或$\frac{9}{4}$，
∴抛物线的方程是${y}^{2}=\frac{4}{3}x$或${x}^{2}=\frac{9}{2}y$．

点评 本题考查双曲线的标准方程、抛物线的标准方程的求法：待定系数法，以及共渐近线的双曲线方程的设法，考查方程思想，化简、计算能力．