Question

1．函数$f（x）=\frac{b}{|x|+a}（a＜0，b＞0）$的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”．
下列命题正确的是③⑤．
①“囧函数”的值域为R；             
②“囧函数”在（0，+∞）上单调递增；
③“囧函数”的图象关于y轴对称；      
④“囧函数”有两个零点；
⑤“囧函数”的图象与直线y=kx+m（k≠0）至少有一个交点．

Answer 1

分析 先判断函数为偶函数，再令a=-1，b=1，得到特殊的函数，利用特殊值法，研究函数的值域，单调性，和零点问题，利用数形结合的方法进行判断

解答 解：由题意函数$f（x）=\frac{b}{|x|+a}（a＜0，b＞0）$，f（-x）=f（x），是偶函数；
当a=-1，b=1，时
则f（x）=$\frac{1}{|x|-1}$，其函数的图象如图：
如图y≠0，值域肯定不为R，故①错误；
如图显然f（x）在（0，+∞）上不是单调函数，故②错误；
f（x）是偶函数，关于y轴对称，故③正确；
如图f（x）≠0，没有零点，故④错误；
如图可知函数f（x）的图象，x=1换为x=a，在四个象限都有图象，
此时与直线y=kx+b（k≠0）的图象至少有一个交点．故⑤正确；
故答案为：③⑤；

点评 此题考查“囧函数”的新定义，关键要读懂题意，只要画出其图象就很容易求解了，解题过程中用到了数形结合的方法．利用特殊值解答问题是数学常用方法．