Question

13．已知函数$f（x）=lnx+tanα（a∈（0，\frac{π}{2}））$的导函数为f′（x），若使得$f'（{x_0}）-\sqrt{3}f（{x_0}）=0$成立的x₀＜1，则实数a的取值范围为$（\frac{π}{6}，\frac{π}{2}）$．

Answer 1

分析 求函数的导数，化简过程，利用参数分离法，构造函数，判断函数的单调性，求出函数的取值范围，结合正切函数的单调性进行求解即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=$\frac{1}{x}$，
则由$f'（{x_0}）-\sqrt{3}f（{x_0}）=0$得$\frac{1}{{x}_{0}}$-$\sqrt{3}$lnx₀-$\sqrt{3}$tanα=0，
即$\frac{1}{{x}_{0}}$-$\sqrt{3}$lnx₀=$\sqrt{3}$tanα，
设g（x）=$\frac{1}{{x}_{0}}$-$\sqrt{3}$lnx₀，当0＜x₀＜1时，函数g（x）为减函数，
则g（x）＞g（1）=1，
即$\sqrt{3}$tanα＞1，
则tanα＞$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{π}{2}$．
故答案为：$（\frac{π}{6}，\frac{π}{2}）$

点评 本题主要考查导数的计算以及三角函数方程的求解，利用参数分离法，结合正切函数的单调性是解决本题的关键．