Question

1．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}+2x}&{x∈（{-∞，2}）}\\{3f（{x-2}）}&{x∈[{2，+∞}）}\end{array}}$，则函数g（x）=f（x）-cosπx在区间[0，6]内所有零点的和为（　　）

• A． 18
• B． 20
• C． 36
• D． 40

Answer 1

分析 在同一个坐标系中作出函数f（x）和y=cosπx在区间[0，6]的图象，由图象的局部对称可得结果．

解答 解：当0≤x＜2时，f（x）=2x-x²，
当2≤x≤4时，f（x）=3f（x-2）=3（x-2）（4-x），
当4≤x≤6时，f（x）=3f（x-2）=9f（x-4）=9（x-4）（6-x），
在同一坐标系中画出函数f（x）与函数y=cosπx的图象，如图：
由图可知可得它们有6个交点，分别关于x=1对称，关于x=3对称，
关于x=5对称，
则所有交点的横坐标和为2+6+10=18．
故选：A．

点评 本题考查函数零点与方程的根以及函数图象的关系．解题关键在于正确作出函数图象，利用对称性求解．属于较难题．