Question

12．在平面直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ为参数）曲线C₁横坐标扩大为原来的两倍，纵坐标扩大为原来的三倍得到曲线C₂．
（1）以原点为极点，x轴正半轴为极轴且单位长度一样的极坐标系中，求曲线C₂的极坐标方程
（2）若M，N两点在曲线C₂上，且OM⊥ON．求$\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{ON}|}^2}}}$的值．
（3）已知C₃的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=1+t\end{array}\right.（t为参数），P为{C_2}上的一点，求点P到直线{C_3}$的最大距离．

Answer 1

分析 （1）消去参数，求出曲线的普通方程，从而转化为极坐标方程即可；
（2）设出M的极坐标方程，根据垂直关系求出N的坐标，表示出$\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{ON}|}^2}}}$，并代入求值即可；
（3）根据点到直线的距离公式计算即可．

解答 解：（1）依题意，得曲线C₂的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$，
∴C₂的普通方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$----------2，
∴C₂的极坐标方程为$\frac{{{{（ρcosθ）}^2}}}{4}+\frac{{{{（ρsinθ）}^2}}}{9}=1即\frac{{{ρ^2}cos{θ^2}}}{4}+\frac{{{ρ^2}sin{θ^2}}}{9}=1$-------3
（2）设点M极坐标为（ρ₁，θ₁），
∵OM⊥ON，∴N点的极坐标是（ρ₂，θ₁+$\frac{π}{2}$）------------5，
$\frac{1}{{{ρ_1}^2}}=\frac{{{{cos}^2}{θ_1}}}{4}+\frac{{{{sin}^2}{θ_1}}}{9}，\frac{1}{{{ρ_2}^2}}=\frac{{{{cos}^2}（{θ_1}+\frac{π}{2}）}}{4}+\frac{{{{sin}^2}（{θ_1}+\frac{π}{2}）}}{9}=\frac{{{{sin}^2}{θ_1}}}{4}+\frac{{{{cos}^2}{θ_1}}}{9}$，
∴$\frac{1}{{|OM|}^{2}}$+$\frac{1}{{|ON|}^{2}}$=$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$
=$\frac{{{cos}^{2}θ}_{1}}{4}$+$\frac{{{sin}^{2}θ}_{1}}{9}$+$\frac{{{sin}^{2}θ}_{1}}{4}$+$\frac{{{cos}^{2}θ}_{1}}{9}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$=$\frac{13}{36}$-----------8
（3）由（1）得C₂的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$，
C₃的普通方程为x+y-2=0-------9
设P（2cosθ，3sinθ）
∴P到直线C₃的距离d=$\frac{|2cosθ+3sinθ-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{13}sin（θ+ω）-2|}{\sqrt{2}}$，
当sin（θ+ω）=-1时，d_max=$\frac{\sqrt{13}+2}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{26}+2\sqrt{2}}{2}$--------------11

点评 本题考查了普通方程，极坐标方程以及参数方程的转化，考查垂直关系以及点到直线的距离，是一道中档题．