Question

4．已知定义在R上的函数f（x），周期为4，当x∈[0，4）时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，0≤x＜2}\\{2x-4，2≤x＜4}\end{array}\right.$，当x∈（-4，b）时，函数y=f（x）-1有5个零点，则实数b的取值范围为（　　）

• A． （5，$\frac{13}{2}$]
• B． [5，$\frac{13}{2}$）
• C． （5，$\frac{13}{2}$）
• D． [5，$\frac{13}{2}$]

Answer 1

分析 根据题意，由函数在[0，4）的解析式，分析f（x）-1=0的根，可得在（0，4）上，函数y=f（x）-1有2个零点，即x=1或$\frac{5}{2}$，结合函数的周期性，分析函数在（-4，0）与（4，8）上的零点情况，综合分析即可得答案．

解答 解：根据题意，当x∈[0，4）时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，0≤x＜2}\\{2x-4，2≤x＜4}\end{array}\right.$，
若f（x）-1=0，即f（x）=1，
则有$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x=1}\\{0≤x＜2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2x-4=1}\\{2≤x＜4}\end{array}\right.$，
解可得x=1或$\frac{5}{2}$；
即在（0，4）上，函数y=f（x）-1有2个零点，即x=1或$\frac{5}{2}$，
又由函数f（x）的周期为4，
在（-4，0）上，函数y=f（x）-1有2个零点，即x=-3或-$\frac{3}{2}$，
在（4，8）上，函数y=f（x）-1有2个零点，即x=5或$\frac{13}{2}$，
当x∈（-4，b）时，函数y=f（x）-1有5个零点，必有5＜b≤$\frac{13}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查分段函数的应用，涉及函数的零点的判定以及函数的周期，关键是在一个周期中分析函数的零点个数．