Question

20．已知函数f（x）=x-2lnx（a∈R）．求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程和极值．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，即可得到函数的极小值，无极大值．

解答 解：函数f（x）=x-2lnx的导数为f′（x）=1-$\frac{2}{x}$，
可得曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线斜率为1-2=-1，
切点为（1，1），
可得曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y-1=-（x-1），
即为x+y-2=0；
由x＞0，f′（x）＞0，可得x＞2；f′（x）＜0，可得0＜x＜2，
即f（x）的增区间为（2，+∞），减区间为（0，2），
可得f（x）的极小值为f（2）=2-2ln2，无极大值．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和极值，考查运算能力，属于基础题．