Question

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=4，sin2A=sinC．
（1）若b=5，求△ABC的面积；
（2）若b＞8，证明：角B为钝角．

Answer 1

分析 （1）由二倍角的正弦公式和正弦定理、余弦定理，解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算可得结论；
（2）运用二倍角的正弦公式和正弦定理，2acosA=c，A为锐角，由正弦定理可得c=acosB+bcosA，再由不等式的性质可得cosB＜0，可得B为钝角．

解答 解：（1）a=4，sin2A=sinC，
可得2sinAcosA=sinC，
由正弦定理可得2acosA=c，
即有cosA=$\frac{c}{2a}$=$\frac{c}{8}$，
b=5，
由余弦定理可得16=25+c²-10ccosA，
即有c=6，
可得cosA=$\frac{3}{4}$，sinA=$\sqrt{1-\frac{9}{16}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
则△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×5×6×$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$；
（2）证明：a=4，sin2A=sinC，
可得2sinAcosA=sinC，
由正弦定理可得2acosA=c，A为锐角，
由sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
由正弦定理可得c=acosB+bcosA，
即为8cosA=4cosB+bcosA，
b＞8，可得8cosA=4cosB+bcosA＞4cosB+8cosA，
可得cosB＜0，则B为钝角．

点评 本题考查解三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查化简转化思想的运用，以及运算能力，属于中档题．