Question

3．已知函数f（x）=$\frac{{{e^{-x}}}}{x}$．
（1）求曲线y=f（x）在点$（1，\frac{1}{e}）$处的切线方程；
（2）求函数y=f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析 （1）求导后求出f′（1），直接由点斜式写出切线方程；
（2）讨论导数的正负，求出单调性，从而求出极值．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
f′（x）=$\frac{-{e}^{-x}（x+1）}{{x}^{2}}$，．f′（1）=-2e^-1．
∴曲线y=f（x）在点$（1，\frac{1}{e}）$处的切线方程为：y-e^-1=-2e^-1（x-1）
即2x+ey-3=0为所求．
（2）f′（x）=$\frac{-{e}^{-x}（x+1）}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0，得x=-1
x，f′（x），f（x）变化如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-	-
f（x）	递增	极大值	递减	递减

∵函数f（x）的单调增区间：（-∞，-1），减区间：（-1，0），（0，+∞），有极大值f（-1）=-e

点评 本题考查了导数的几何意义，导数与单调性、极值，属于中档题．