Question

11．已知△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足asinB=$\sqrt{3}$bcosA．
（1）求A的大小；
（2）若a=7，b=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、商的关系化简式子，求出tanA的值，由A的范围求出角A的大小；
（2）由条件和余弦定理可求c的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）依正弦定理可将asinB=$\sqrt{3}$bcosA化为：sinAsinB=$\sqrt{3}$sinBcosA…（2分）
因为在△ABC中，sinB＞0，
所以sinA=$\sqrt{3}$cosA，即tanA=$\sqrt{3}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$．                …（5分）
（2）因为，a=7，b=5，A=$\frac{π}{3}$，
所以，由余弦定理可得：49=25+c²-2×$5×c×\frac{1}{2}$，
整理可得：c²-5c-24=0，解得：c=8，或-3（舍去），
所以，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×5×8×\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$．…（10分）

点评 本题考查正弦、余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．