Question

13．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，椭圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，点A的坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{4}$π）．
（1）将点A的坐标化为直角坐标系下的坐标，椭圆的参数方程化为普通方程；
（2）直线l与椭圆C交于P、Q两点，求|AP|•|AQ|的值．

Answer 1

分析 （1）根据直角坐标和极坐标的关系，将A的极坐标转化为直角坐标即可，消去参数，求出椭圆的普通方程即可；
（2）将点的坐标代入椭圆的方程，结合参数t的几何意义求出|AP|•|AQ|的值即可．

解答 解：（1）∵A的坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{4}$π），
而x=ρcosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos$\frac{3π}{4}$=-$\frac{1}{2}$，y=ρsinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin$\frac{3π}{4}$=$\frac{1}{2}$，
故点A的坐标化为直角坐标系下的坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，得$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）点A在直线l上，将$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
化简得14t²+2$\sqrt{2}$t-41=0，
显然△＞0，设此方程两根为t₁，t₂，则t₁t₂=-$\frac{41}{14}$，
由参数t的几何意义得|AP|•|AQ|=|t₁t₂|=$\frac{41}{14}$．

点评 本题考查了直角坐标和极坐标的转化，考查参数的几何意义以及转化思想，是一道中档题．