Question

5．若点M（a，b）在函数y=-x²+3lnx的图象上，点N（c，d）在函数y=x-2的图象上，则$\sqrt{（a+c）^{2}+（b+d）^{2}}$的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意可得$\sqrt{（a+c）^{2}+（b+d）^{2}}$的几何意义是点（a，b）与点（-c，-d）的距离，先求出与直线y=x+2平行且与曲线y=-x²+3lnx相切的直线y=x+m．再求出此两条平行线之间的距离，即可得出．

解答 解：点N（c，d）在函数y=x-2的图象上，
可得d=c-2，即有-d=-c+2，
则点（-c，-d）在直线y=x+2上，
则$\sqrt{（a+c）^{2}+（b+d）^{2}}$的几何意义是点（a，b）与点（-c，-d）的距离．
设直线y=x+m与曲线y=-x²+3lnx相切于P（x₀，y₀），
由函数y=-x²+3lnx，
∴y′=-2x+$\frac{3}{x}$，
令-2x₀+$\frac{3}{{x}_{0}}$=1，又x₀＞0，解得x₀=1．
∴y₀=-1+3ln1=-1，
可得切点P（1，-1）．
代入-1=1+m，解得m=-2．
可得与直线y=x+2平行且与曲线y=-x²+3lnx相切的直线y=x-2．
而两条平行线y=x+2与y=x-2的距离d=$\frac{|-2-2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
则$\sqrt{（a+c）^{2}+（b+d）^{2}}$的最小值为2$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了导数的几何意义、切线的方程、两条平行线之间的距离、最小值的转化问题等基础知识与基本技能方法，属于中档题．