Question

12．已知函数f（x）的导函数f'（x）是二次函数，且y=f'（x）的图象关于y轴对称，f'（3）=0，若f（x）的极大值与极小值之和为4，则f（0）=2．

Answer 1

分析 设出函数的解析式f（x）=$\frac{1}{3}a{x}^{3}-9ax+b$，求出函数的导数，利用函数的极值关系求解b，然后推出结果．

解答 解：函数f（x）的导函数f'（x）是二次函数，且y=f'（x）的图象关于y轴对称，f'（3）=0，则f'（-3）=0，
可设导函数为：f'（x）=ax²-9a，函数的解析式设为：f（x）=$\frac{1}{3}a{x}^{3}-9ax+b$，
若f（x）的极大值与极小值之和为4，则f（3）+f（-3）=4，
可得：9a-27a-9a+27a+2b=4，解得b=2．
则f（0）=b=2．
故答案为：2．

点评 本题考查函数的极值以及函数的导数的应用，函数的奇偶性的应用，考查分析问题解决问题的能力．