Question

9．某企业寻找甲、乙两家代工厂为其生产某种产品，并通过检测该产品的某项指标值来衡量产品是否合格．现从甲、乙生产的大量产品中各随机抽取50件产品作为样本，测量出它们的该项指标值，若指标值落在（170，230]内，则为合格品，否则为不合格品．表是甲厂样本的频数分布表，如图是乙厂样本的频率分布直方图．

质量指标值	频数
（150，170]	3
（170，190]	12
（190，210]	20
（210，230]	a
（230，250]	7

表：甲厂样本的频数分布表
（I） 求频数分布表中a的值，并将频率分布直方图补充完整；
（II） 若将频率视为概率，某个月内，甲、乙两厂均生产了5000件产品，则甲、乙两厂分别生产出不合格品约多少件？
（III）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两厂的选择有关”？
附：K²=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$（其中n=a+b+c+d为样本容量）

	甲厂	乙厂	合计
合格品
不合格品
合计

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.010
k	2.072	2.706	3.841	6.635

Answer 1

分析 （I）利用频数分布表直接求解a的值，将频率分布直方图补充完整；
（II） 将频率视为概率，直接求解某个月内，甲、乙两厂均生产了5000件产品，则甲、乙两厂分别生产出不合格品件数．
（III）利用公式K²=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，求出结果判断即可．

解答 解：（ I）a=50-12-3-7-20=8，（210，230]的高度与（150，170]的高度相同， …（2分）
（ II）由甲厂频数分布表知，不合格品有10件，则甲厂不合格品概率为${P_甲}=\frac{1}{5}$，所以甲厂生产的5000件产品中，不合格品大约为$5000×\frac{1}{5}=1000$件；  …（4分）
由乙厂频率分布直方图知，不合格品的频率为（0.01+0.005）×20=0.3件，则乙厂不合格品概率为${P_甲}=\frac{3}{10}$，所以乙厂生产的5000件产品中，不合格品大约为$5000×\frac{3}{10}=1500$件  …（7分）
（ III）由题意可得

	甲厂	乙厂	合计
合格品	40	35	75
不合格品	10	15	25
合计	50	50	100

：${K^2}=\frac{{100×{{（{600-350}）}^2}}}{50×50×75×25}=\frac{4}{3}≈1.333＜2.072$
所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两厂的选择有关”．…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图，分布表以及独立检验的应用，考查分析问题解决问题的能力．