Question

设函数f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（m，cos²x），

b

=（1+sinxcosx，1），x∈R，且函数y=f（x）的图象过点（

π

4

，-1）．
（1）求实数m的值；
（2）求函数f（x）的最大值及此时x值的集合；
（3）求函数f（x）的图象中，求出离坐标轴y轴最近的对称方程．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，把点（

π

4

，-1）代入求出m的值即可；
（2）由m的值确定出f（x）解析式，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出f（x）的最大值以及此时x的集合即可；
（3）令2x-

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，表示出x的集合，找出离坐标轴y轴最近的对称方程即可．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（m，cos²x），

b

=（1+sinxcosx，1），x∈R，
∴f（x）=

a

•

b

=m（1+

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

）=m+

1

2

+

1

2

（msin2x+cos2x），
把（

π

4

，-1）代入得：f（

π

4

）=m+

1

2

+

1

2

（msin

π

2

+cos

π

2

）=-1，
解得：m=-1；
（2）由（1）得f（x）=-1+

1

2

+

1

2

（-sin2x+cos2x）=-

1

2

-

2

2

sin（2x-

π

4

），
∴当sin（2x-

π

4

）=-1时，f（x）的最大值为-

1

2

+

2

2

，
由sin（2x-

π

4

）=-1，得x值为集合为{x|x=kπ-

π

8

，k∈Z}；
（3）由2x-

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z得：x=

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z，
则k=-1时，离坐标轴y轴最近的对称方程为x=-

π

8

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．