Question

18．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足x²f′（x）+1＞0，f（2）=$\frac{9}{2}$，则不等式f（lgx）＜$\frac{1}{lgx}$+4的解集为（　　）

• A． （10，100）
• B． （0，100）
• C． （100，+∞）
• D． （1，100）

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$，求出函数的导数，问题转化为g（lnx）＜g（2），求出x的范围即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$，
则g′（x）=f′（x）+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
g（x）在（0，+∞）递增，
而g（2）=f（2）-$\frac{1}{2}$=4，
故由f（lgx）＜$\frac{1}{lgx}$+4，
得g（lgx）＜g（2），
故0＜lgx＜2，解得：1＜x＜100，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$是解题的关键，本题是一道中档题．