Question

如图，正△ABC的边长为2，P、Q分别在边AB、AC上运动，且线段PQ将△ABC的面积二等分，求线段PQ长的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,两点间距离公式的应用,点到直线的距离公式

专题：解三角形

分析：求出三角形的面积，设AP=a．AQ=b，PQ=c，结合基本不等式以及余弦定理进行求解即可．

解答： 解：∵正△ABC的边长为2，
∴△ABC的面积是

1

2

×22×

3

2

=

3

，
∵线段PQ将△ABC的面积二等分，
∴△APQ面积是

3

2

，令AP=a，AQ=b，
则S_△APQ=

1

2

absin60°=

3

2

，
∴ab=2，
设PQ=c（0＜a≤2，0＜b≤2），
由余弦定理c²=a²+b²-2abcos60°=a²+b²-ab，
a²+b²-ab≥2ab-ab=ab=2，
当ab=2（定值），a+b有最小值2

2

，最大值为3，（极限值为最大值），
a²+b²-ab=（a+b）²-3ab≤3²-6=3，
综上，2≤a²+b²-ab≤3，
∴2≤c²≤3
∴

2

≤c≤

3

，
即线段PQ长的取值范围是[

2

，

3

]．

点评：本题主要考查余弦定理的应用，结合基本不等式的是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．