Question

设f（x）=lnx+

a

x

（a为常数）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）判断f（x）在定义域内是否有零点？说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的定义域及其求法,函数的零点

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）先确定函数的定义域，然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可得到函数的单调区间；
（2）对a进行分类讨论：①当a=0时，f（x）=lnx有1个零点；②当a＞0时，f（x）_min=1+lna，再分情况，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵f（x）的定义域为（0，+∞）（1分）
f′（x）=

x-a

x2

=0（2分）∴x=a（3分）
当a=0时，f'（x）＞0，∴f（x）的单调区间为（0，+∞）且f（x）在（0，+∞）上单调增       （4分）
当a＞0时，x∈（o，a）时，f'（x）＜0x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0（5分）
所以f（x）的单调区间是（0，a），（a，+∞）且f（x）在（0，a）上单调减，在（a，+∞）上单调增（6分）
（2）①当a=0时，f（x）=lnx有1个零点x=1（7分）
②当a＞0时，f（x）_min=1+lna（8分）
当1+lna＞0，即a＞

1

e

时无零点                                 （9分）
当1+lna=0，即a=

1

e

时有1个零点x=

1

e

（10分）
当1+lna＜0，即0＜a＜

1

e

时有2个零点                          （11分）
∵f（a）＜0，f（x）在（0，a）上单调减，且取x=

1

ean

，当n＞-

lna

a

时，

1

ean

＜a，
有f（

1

ean

）=-na+ae^an＞a[（2^a）ⁿ-n]，当n足够大时f（

1

ean

）＞0
∴f（x）在（0，a）上有1个零点                                      （12分）
f（x）在（a，+∞）上单调增，且f（1）=a＞0
∴f（x）在（a，+∞）上有1个零点   （13分）
所以当a=0或a=

1

e

时，f（x）有1个零点；当0＜a＜

1

e

时，f（x）有2个零点；当a＞

1

e

时，f（x）无零点．（14分）

点评：本题是函数的综合题，综合考查了利用导数求函数的单调区间，求函数的零点，及分类讨论思想，有一定的难度，是一道很好的函数题．