Question

设函数f（x）满足：对任意实数a，b都有|f（a）-f（b）|≤|a-b|，且f（f（f（0）））=0．则f（0）=（　　）

• A、1
• B、-1
• C、0
• D、10

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：利用“迭代方法”，开始令b=0，a=f（0），再令b=f（0），a=f（f（0）），再一次迭代．

解答： 解：令b=0，a=f（0），
∵对任意实数a，b都有|f（a）-f（b）|≤|a-b|，
∴|f（f（0））-f（0）|≤|f（0）|，
令b=f（0），a=f（f（0）），
则|f（f（f（0）））-f（f（0））|≤|f（f（0））-f（0）|，
∵f（f（f（0）））=0．
∴|f（f（0））|≤|f（f（0））-f（0）|，
再令b=f（f（0）），a=f（f（f（0））），
则|f（f（f（f（0））））-f（f（f（0）））|≤|f（f（f（0）））-f（f（0））|，
∴|f（0）|≤|f（f（0））|，
综上可得：|f（0）|≤|f（f（0））|≤|f（f（0））-f（0）|≤|f（0）|，
则必有f（0）=0，如若不然，则推出矛盾．
∴f（0）=0．
故选：C．

点评：本题考查了迭代方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．