Question

【题目】已知函数是奇函数

（1）求的值；

（2）当时，求不等式成立，求的取值范围；

Answer 1

【答案】（1）k＝﹣1；（2）见解析

【解析】

（1）可根据条件得出f（x）是R上的奇函数，从而得出f（0）＝0，从而求出k＝﹣1；

（2）f（x）＝ax﹣a﹣x，求导得出f′（x）＝（ax﹣a﹣x）lna，可讨论a，根据导数符号判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性，这样根据f（x）是奇函数以及f（x）的单调性即可由不等式f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出m的范围．

（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝1+k＝0，∴k＝﹣1；

（2）f（x）＝ax﹣a﹣x，f′（x）＝（ax+a﹣x）lna，

∴①0＜a＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣1，1）上单调递减，且f（x）是奇函数，

∴由f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0得，f（1﹣m）＜f（2m﹣1），

∴，解得；

②a＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，1）上单调递增，且f（x）是奇函数，

∴由f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0得，f（1﹣m）＜f（2m﹣1），

∴，解得，

综上：当0＜a＜1时，m的取值范围为，当a＞1时，m的取值范围为．