Question

14．已知数列{a_n}满足a_n≠0，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n-1-a_n=2a_n•a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求证：$（{\frac{1}{a_n}}）$是等差数列；
（2）比较a_n与$\frac{1}{4n（n+1）}$的大小关系；
（3）利用（2）证明：a₁²+a₂²+…+a_n²＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由a_n-1-a_n=2a_n•a_n-1（n≥2，n∈N^*），变形为$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}$=2，利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）由（1）可得：a_n=$\frac{1}{2n+1}$．作差a_n-$\frac{1}{4n（n+1）}$即可比较出大小；
（3）由a_n=$\frac{1}{2n+1}$，由${a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4{n}^{2}+4n+1}$＜$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和”、“放缩法”即可证明．

解答 （1）证明：∵a_n-1-a_n=2a_n•a_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}$=2，∴$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项为3，公差为2；
（2）解：由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=3+2（n-1）=2n+1，
∴a_n=$\frac{1}{2n+1}$．
∴a_n-$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{4n（n+1）-（2n+1）}{4n（n+1）（2n+1）}$=$\frac{4{n}^{2}+2n-1}{4n（n+1）（2n+1）}$＞0，
∴a_n＞$\frac{1}{4n（n+1）}$．
（3）证明：∵a_n=$\frac{1}{2n+1}$，∴${a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}}$=$\frac{1}{4{n}^{2}+4n+1}$＜$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴a₁²+a₂²+…+a_n²＜$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$$＜\frac{1}{4}$．
∴a₁²+a₂²+…+a_n²＜$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推式的应用、“裂项求和”方法、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．