Question

6．已知函数f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+tf（x）+1=0有四个实数根，则实数t的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-e-$\frac{1}{e}$）
• B． （-∞，e+$\frac{1}{e}$）
• C． （-e-$\frac{1}{e}$，+∞）
• D． （-∞，-e-1）

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性，根据函数图形得出f（x）=m的解得分布情况，得出关于m的方程m²+tm+1=0的根的分布情况，列不等式解出t．

解答 解：当x≥0时，f（x）=xe^x，f′（x）=e^x+xe^x=e^x（x+1）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，
当x＜0时，f（x）=-xe^x，f′（x）=-e^x（x+1），
∴当x＜-1时，f′（x）＞0，当-1＜x＜0时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，0）上单调递减，
f（x）的极大值为f（-1）=$\frac{1}{e}$，
作出f（x）的函数图象如图所示：

设f（x）=m，由图象可知：
∴当m=0或m$＞\frac{1}{e}$时，方程f（x）=m有1解；
当0＜m＜$\frac{1}{e}$时，方程f（x）=m有3解；
当m=$\frac{1}{e}$时，方程f（x）=m有2解．
∵方程f²（x）+tf（x）+1=0有四个实数根，
显然f（x）≠0，
∴关于m的方程m²+mt+1=0在（0，$\frac{1}{e}$）和（$\frac{1}{e}$，+∞）上各有1解；
∴$\frac{1}{{e}^{2}}$+$\frac{t}{e}$+1＜0，
解得t＜-e-$\frac{1}{e}$．
故选A．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．