Question

18．已知函数f（x）=$\frac{e^x}{x+1}$．
（1）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若关于x的不等式（x+1）f（x）≥$\frac{1}{2}{x^2}$+x+a在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设函数g（x）=$\frac{（x-1）（x+m）}{lnx}$，其定义域是D，若关于x的不等式（x+1）f（x）＜g（x）在D上有解，求整数m的最小值．（参考数据：$\sqrt{e}$=1.65，ln2=0.69）

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到$f'（1）=\frac{e}{4}$，求得$f（1）=\frac{e}{2}$，代入直线方程的点斜式可得y=f（x）在（1，f（1））处切线方程；
（2）把不等式（x+1）f（x）≥$\frac{1}{2}{x^2}$+x+a在[0，+∞）上恒成立转化为$a≤{e^x}-\frac{1}{2}{x^2}-x$．构造函数$h（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}-x$，利用导数求其最小值得答案；
（3）求出函数g（x）=$\frac{（x-1）（x+m）}{lnx}$的定义域D=（0，1）∪（1，+∞），不等式（x+1）f（x）＜g（x）在D上有解，转化为$\frac{e^x}{x+1}＜\frac{（x-1）（x+m）}{（x+1）lnx}$在D上有解．证明$\frac{e^x}{x+1}≥\frac{e}{4}（x+1）$在D上恒成立，再证明$\frac{e}{4}（x+1）＞\frac{x-1}{lnx}$在D上恒成立，可得$\frac{e^x}{x+1}＞\frac{x-1}{lnx}$在D上恒成立．说明当m≤1时，$\frac{（x-1）（x+m）}{lnx}≤\frac{（x-1）（x+1）}{lnx}＜{e^x}$在D上恒成立．取m=2，得$g（x）=\frac{（x-1）（x+2）}{lnx}$，求得$g（\frac{1}{2}）=\frac{5}{4}•\frac{1}{ln2}≈1.81$，而${e^{\frac{1}{2}}}≈1.65＜1.81$，可知e^x＜g（x）在D上有解．从而求得m的最小整数值是2．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{e^x}{x+1}$，∴$f'（x）=\frac{{x{e^x}}}{{{{（x+1）}^2}}}$，
∴$f'（1）=\frac{e}{4}$，又$f（1）=\frac{e}{2}$，
∴y=f（x）在（1，f（1））处切线方程是：$y-\frac{e}{2}=\frac{e}{4}（x-1）$，
整理得：$y=\frac{e}{4}x+\frac{e}{4}$；
（2）由（x+1）f（x）≥$\frac{1}{2}{x^2}$+x+a，得${e^x}≥\frac{1}{2}{x^2}+x+a$，
∴$a≤{e^x}-\frac{1}{2}{x^2}-x$．
令$h（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}-x$，则h'（x）=e^x-x-1，
令p（x）=h'（x）=e^x-x-1，得p（0）=0，p'（x）=e^x-1≥0，
∴p（x）在[0，+∞）上单调递增，则p（x）≥0．
∴h'（x）≥0，得h（x）在[0，+∞）上单调递增，
又h（0）=1，∴h_min（x）=h（0）=1．
∴a≤1；
（3）由g（x）=$\frac{（x-1）（x+m）}{lnx}$，得x＞0且x≠1．
∴D=（0，1）∪（1，+∞），
不等式（x+1）f（x）＜g（x）在D上有解，
即${e^x}＜\frac{（x-1）（x+m）}{lnx}$在D上有解，即$\frac{e^x}{x+1}＜\frac{（x-1）（x+m）}{（x+1）lnx}$在D上有解．
先证：$\frac{e^x}{x+1}≥\frac{e}{4}（x+1）$在D上恒成立，即证：$\frac{e^x}{x+1}-\frac{e}{4}（x+1）≥0$恒成立，
只要证${e^x}-\frac{e}{4}{（x+1）^2}≥0$在D上恒成立．
设$H（x）={e^x}-\frac{e}{4}{（x+1）^2}$，其中x∈[0，+∞）．
∵H（1）=0，$H'（x）={e^x}-\frac{e}{2}（x+1）$，$H'（0）=1-\frac{e}{2}＜0$，H'（1）=0，
$H''（x）={e^x}-\frac{e}{2}$在[0，+∞）上单调递增，令H''（x）=0，得$x=ln\frac{e}{2}∈（0，1）$．
∴当$x∈（0，ln\frac{e}{2}）$时，H''（x）＜0，H'（x）单调递减，
当$x∈（ln\frac{e}{2}，+∞）$时，H''（x）＞0，H'（x）单调递增，
∴$H{'_{min}}（x）=H'（ln\frac{e}{2}）=-\frac{e}{2}ln\frac{e}{2}＜0$．
当x∈（0，1）时，H'（x）＜0，H（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，H'（x）＞0，H（x）单调递增．
∴H_min（x）=H（1）=0，得H（x）≥0恒成立．
∴$\frac{e^x}{x+1}≥\frac{e}{4}（x+1）$在D上恒成立；   ①
再证：$\frac{e}{4}（x+1）＞\frac{x-1}{lnx}$在D上恒成立．
当x∈（1，+∞）时，即证：$lnx-\frac{4}{e}•\frac{x-1}{x+1}＞0$恒成立，②
设$F（x）=lnx-\frac{4}{e}•\frac{x-1}{x+1}$，其中x∈[1，+∞），
∴F（1）=0，$F'（x）=\frac{{e{x^2}+（2e-8）x+e}}{{ex{{（x+1）}^2}}}$．
设t（x）=ex²+（2e-8）x+e，其中△=64-32e＜0，
∴t（x）＞0恒成立，得F'（x）＞0恒成立，则F（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴F（x）＞F（1）=0，则②成立．
当x∈（0，1）时，即证$lnx-\frac{4}{e}•\frac{x-1}{x+1}＜0$，由上证可知，不等式成立，
∴$\frac{e}{4}（x+1）＞\frac{x-1}{lnx}$在D上恒成立．③
由①③可知，$\frac{e^x}{x+1}＞\frac{x-1}{lnx}$在D上恒成立．
∴${e^x}＞\frac{（x-1）（x+1）}{lnx}$恒成立，
∴当m≤1时，$\frac{（x-1）（x+m）}{lnx}≤\frac{（x-1）（x+1）}{lnx}＜{e^x}$在D上恒成立．
令m=2，得$g（x）=\frac{（x-1）（x+2）}{lnx}$，
∴$g（\frac{1}{2}）=\frac{5}{4}•\frac{1}{ln2}≈1.81$，
又${e^{\frac{1}{2}}}≈1.65＜1.81$，∴e^x＜g（x）在D上有解．
综上，m的最小整数值是2．

点评 本题考查利用对数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，体现了“逆向思维方法”在解题中的应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，题目设置难度较大，是压轴题．