Question

数列{a_n}的前项和为S_n，已知a₁=1，an+1=

n+2

n

Sn(n=1，2，3，…)
（1）证明：{

Sn

n

}是等比数列；
（2）求数列{S_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用a_n+1=

n+2

n

S_n，a_n+1=S_n+1-S_n，推导出

Sn+1

n+1

：

Sn

n

=2，由此能证明{

Sn

n

}是等比数列．
（2）由已知条件推导出

Sn

n

=2^n-1，由此利用错位相减法能求出数列{S_n}的前n项和T_n．

解答： （1）证明：∵a_n+1=

n+2

n

S_n，a_n+1=S_n+1-S_n，
∴S_n+1-S_n=

n+2

n

Sn，
∴nS_n+1=（2n+2）S_n，
∴

Sn+1

n+1

：

Sn

n

=2，
∴{

sn

n

}是等比数列．
（2）解：∵a₁=1，

Sn+1

n+1

：

Sn

n

=2，
∴

S1

1

=1，
∴

Sn

n

=2^n-1，
∴S_n=n•2^n-1，
∴T_n=1•2⁰+2•2+3•2²+…+n•2^n-1，①
2T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，②
①-②，得：
-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ
=2ⁿ-1-n•2n ．
∴Tn=n•2n-2n+1．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意错位相减求和法的合理运用．